Granice ciągu

Własności granic ciągów

Rysunek 1: Interpretacja geometryczna własności ograniczoności ciągu zbieżnego

Rys. 1 przedstawia wykres ciągu, który jest zbieżny do granicy $ 2 $. Ponieważ wiemy z definicji granicy ciągu, że prawie wszystkie jego wyrazy leżą w przedziale $ [1,3] $ i poza tym przedziałem leży tylko skończona liczba wyrazów ciągu, więc jeżeli są wyrazy większe od $ 3 $, to żaden wyraz ciągu nie będzie większy niż największy z tych, które są większe od $ 3 $.

Analogicznie rozumujemy ograniczając ciąg od dołu albo przez liczbę $ 1 $, albo przez najmniejszy z wyrazów, które są mniejsze od $ 1 $.

Wniosek 1:

Jeżeli $ \lim_{ n \rightarrow \infty} a_n=g $, to ciąg $ (a_n) $ jest ograniczony.

Rysunek 2: Przykład ciągu ograniczonego, który nie jest zbieżny

Rys. 2 przedstawia wykres ciągu, który jest ograniczony, ale nie posiada granicy właściwej. Przykład ten pokazuje, że własność ograniczoności ciągu nie jest tożsama ze zbieżnością, czyli istnieją ciągi, które są ograniczone i nie mają granicy właściwej.

Uwaga 1:

Nie zachodzi twierdzenie odwrotne do wniosku, czyli nie każdy ciąg ograniczony musi być zbieżny do granicy właściwej.

$Interpretacja geometryczna braku ograniczoności ciągów rozbieżnych do {OPENAGHMATHJAX()} + \infty{OPENAGHMATHJAX} i {OPENAGHMATHJAX()}- \infty{OPENAGHMATHJAX}$

Rysunek 3: Interpretacja geometryczna braku ograniczoności ciągów rozbieżnych do $ + \infty $ i $ - \infty $

Rys. 3 przedstawia dwa ciągi, z których pierwszy jest rozbieżny do $ + \infty $, a drugi rozbieżny do $ - \infty $. Zauważamy, że prawie wszystkie wyrazy pierwszego ciągu są większe od dowolnej liczby rzeczywistej oraz prawie wszystkie wyrazy drugiego ciągu są mniejsze od dowolnej liczby rzeczywistej.

Wniosek 2:

Jeżeli $ \lim_{ n \rightarrow \infty} a_n=+\infty $, to ciąg $ (a_n) $ nie jest ograniczony od góry.

Jeżeli $ \lim_{ n \rightarrow \infty} a_n=- \infty $, to ciąg $ (a_n) $ nie jest ograniczony od dołu.

Uwaga 2:

Tak samo jak w przypadku Twierdzenia 1 nie zachodzą twierdzenia odwrotne, czyli ciąg, który nie jest ograniczony od góry nie musi być rozbieżny do $ + \infty $, ani ciąg, który nie jest ograniczony od dołu nie musi być rozbieżny do $ - \infty $.

Rysunek 4: Ciąg, który nie ma granicy

Rys. 4 pokazuje ciąg, którego nieskończenie wiele wyrazów leży dowolnie blisko liczby $ 1 $, ale również nieskończenie wiele wyrazów leży dowolnie blisko liczby $ -1 $.

Jeżeli wybierzemy $ \varepsilon \in (0,1) $, to poza przedziałami $ [ 1- \varepsilon, 1+ \varepsilon ] $ oraz $ [ -1- \varepsilon, -1+ \varepsilon ] $ leży zawsze nieskończenie wiele wyrazów ciągu, czyli liczby $ 1 $ ani $ -1 $ nie mogą być granicami ciągu. Tym bardziej granicą nie może być żadna inna liczba rzeczywista różna od $ 1 $ i $ -1 $. Pokazuje to, że nawet jeżeli nieskończenie wiele wyrazów ciągu skupia się wokół pewnej liczby rzeczywistej, to nie musi ona być granicą ciągu.

Twierdzenie 1: o jednoznaczności granicy ciągu

Ciąg $ (a_n) $ nie może mieć $ 2 $ różnych granic.

Interpretacja geometryczna twierdzenia ((Automatycznie|#Tw-zach-nie-gr))

Rysunek 5: Interpretacja geometryczna twierdzenia o zachowaniu nierówności w granicy

Rys. 5 przedstawia na jednym wykresie dwa ciągi zbieżne, z których jeden (czerwony) ma wyrazy od pewnego miejsca większe niż drugi (niebieski). Wydaje się być oczywiste, że granica ciągu o wyrazach większych nie może być mniejsza od granicy ciągu o wyrazach mniejszych. Już nie taki oczywisty jest fakt, że granice te mogą być równe, mimo, że pomiędzy wyrazami zachodzą nierówności silne.

Twierdzenie 2: o zachowaniu nierówności w granicy

Jeżeli $ \lim_{ n \rightarrow \infty}a_n=a $ i $ \lim_{ n \rightarrow \infty} b_n=b $ oraz od pewnego miejsca zachodzą nierówności pomiędzy odpowiednimi wyrazami ciągów $ a_n < b_n $, to pomiędzy granicami ciągów zachodzi nierówność $ a \leqslant b $.

Uwaga 3:

W granicy zachowana jest nierówność o tym zwrocie jak pomiędzy wyrazami dwóch ciągów, ale zawsze jako nierówność słaba.

Interpretacja geometryczna twierdzenia ((Automatycznie|#Tw-ciag-ogra-mon))

Rysunek 6: Interpretacja geometryczna twierdzenia o ciągu ograniczonym i monotonicznym

Rys. 6 przedstawia dwa ciągi ograniczone, z których jeden jest rosnący (niebieski), a drugi malejący (czerwony). Zauważamy, że obydwa ciągi mają granice właściwe, ciąg rosnący i ograniczony od góry jest zbieżny do najmniejszego swojego ograniczenia górnego, a ciąg malejący i ograniczony od dołu jest zbieżny do największego swojego ograniczenia dolnego.

Twierdzenie 3: o ciągu ograniczonym i monotonicznym

Jeżeli ciąg $ (a_n) $ jest ograniczony i monotoniczny, to jest zbieżny.

Przykład 1:

Uzasadnij zbieżność ciągu $ a_n= \frac{1}{1 \cdot 2^1}+ \frac{1}{2 \cdot 2^2}+⋯+\frac{1}{n \cdot 2^n }. $

Rozwiązanie:

Zbadamy monotoniczność ciągu wyznaczając znak różnicy $ a_{n+1}-a_n= \frac{1}{(n+1) \cdot 2^{n+1} }>0 $ dla wszystkich n naturalnych. Ponieważ różnica $ a_{n+1}-a_n $ jest dodatnia, to ciąg $ (a_n) $ jest rosnący.

Wystarczy teraz zbadać, czy ciąg jest ograniczony od góry, bo wiemy, że ciąg rosnący jest ograniczony od dołu przez pierwszy wyraz. Wykorzystujemy ograniczenie $ a_n= \frac{1}{1 \cdot 2^1 }+\frac{1}{2 \cdot 2^2}+ \cdots + \frac{1}{n \cdot 2^n} <\frac{1}{2^1}+\frac{1}{2^2} + \cdots +\frac{1}{2^n} $ .

Zauważamy, że $ \frac{1}{2^1} +\frac{1}{2^2} + \cdots +\frac{1}{2^n} $ jest sumą ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie $ \frac{1}{2} $ i ilorazie $ \frac{1}{2} $. Ze wzoru na $ n $-tą sumę ciągu geometrycznego mamy $ \frac{1}{2^1} +\frac{1}{2^2} + \cdots +\frac{1}{2^n} = \frac{1}{2} \frac{ 1-(\frac{1}{2})^n }{ 1-\frac{1}{2}}=1-(\frac{1}{2})^n<1 $.

Z powyższego oszacowania wnioskujemy, że ciąg $ (a_n) $ jest ograniczony, zatem twierdzenie mówi , że jest zbieżny.

Przykład 2:

Uzasadnij zbieżność ciągu $ b_n= \frac{(n!)^2}{(2n)!}. $

Rozwiązanie:

Badamy monotoniczność ciągu $ (b_n) $ zauważając, że jest to ciąg o wyrazach dodatnich, czyli możemy badać iloraz
$ \frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{[(n+1)!]^2}{(2n+2)!} \frac{(2n)!}{(n!)^2} =\frac{[(n+1) \cdot n!]^2}{(2n+2) \cdot (2n+1) \cdot (2n)!} \frac{(2n)!}{(n!)^2} =\frac{n+1}{2(2n+1)}<1 $ .

Ponieważ iloraz $ \frac{b_{n+1}}{b_n} $ jest dla wszystkich $ n $ naturalnych mniejszy od jedynki, to ciąg $ (b_n) $ jest malejący.

Badamy teraz, czy ciąg $ (b_n) $ jest ograniczony od dołu, gdyż wiemy, że ciąg malejący jest ograniczony od góry przez pierwszy wyraz.

Zauważamy, że $ b_n=\frac{(n!)^2}{(2n)!}>0 $ dla wszystkich $ n $ naturalnych, zatem ciąg $ (b_n) $ jest ograniczony.

Na podstawie twierdzenia wnioskujemy, że ciąg $ (b_n) $ jest zbieżny.

Temat:
Opis:
Typ:

Email: